学习笔记

数据可视化中的P-范数

P-范数（P-norm）是数学中用于衡量向量大小的一种方式，广泛应用于机器学习、数据分析和优化等领域。

2025年1月16日 — 2 min read

P-范数是对向量的一个度量，表示向量在某种“长度”或“大小”上的度量。对于一个n维向量 ( $\\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ )，P-范数定义为：

$
|\mathbf{x}|p = \left( \sum{i=1}^{n} |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}
$

其中，( p ) 是一个正数。

1-范数（L1范数）：
[
|\mathbf{x}|1 = \sum{i=1}^{n} |x_i|
]
1-范数表示向量各个分量绝对值的总和，常用于特征选择和稀疏表示。
2-范数（L2范数）：
[
|\mathbf{x}|2 = \left( \sum{i=1}^{n} |x_i|^2 \right)^{\frac{1}{2}}
]
2-范数是最常用的范数，表示向量的欧几里得长度，广泛应用于机器学习中的距离度量和正则化。
无穷范数（L∞范数）：
[
|\mathbf{x}|\infty = \max{i} |x_i|
]
无穷范数表示向量中绝对值最大的分量，常用于优化问题中。

非负性：对于任何向量 ( \mathbf{x} )，( |\mathbf{x}|_p \geq 0 )，且当且仅当 ( \mathbf{x} = 0 ) 时，( |\mathbf{x}|_p = 0 )。
齐次性：对于任意标量 ( \alpha ) 和向量 ( \mathbf{x} )，有 ( |\alpha \mathbf{x}|_p = |\alpha| |\mathbf{x}|_p )。
三角不等式：对于任意两个向量 ( \mathbf{x} ) 和 ( \mathbf{y} )，有 ( |\mathbf{x} + \mathbf{y}|_p \leq |\mathbf{x}|_p + |\mathbf{y}|_p )。